قوانين التكامل في الرياضيات أمثلة على التكامل مع الحل
قوانين عن التكامل لمادة الرياضيات !!
ملخص الدرس الأول : الدوال الأصلية
ملخص الدرس الثاني التكامل غير المحدد
مرحباً بكم متابعينا الأعزاء طلاب وطالبات العلم في موقعنا النورس العربي منبع المعلومات والحلول الذي يقدم لكم أفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه من شتى المجالات التعلمية من مقرر المناهج التعليمية والثقافية ويسعدنا أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول........ ملخص قوانين التكامل في الرياضيات أمثلة على التكامل مع الحل
الإجابة هي كالتالي
قوانين عن التكامل لمادة الرياضيات
الدرس الأول : الدوال الأصلية
تعريف :
لتكن د دالة معرفة على الفترة ف خ ح كل دالة ل تحقق العلاقة :
لَ { س } = د { س } لكل س ي ف .
تسمى دالة أصلية أو { معكوس المشتقة } للدالة د على ف .
ملاحظة : سنرمز للدالة الأصلية بالرمز : ل{ س } .
مثال : الدالة الأصلية د { س } = س# - 7 ، دالتها المشتقة هي : دَ { س } = 3 س@ .
مثال :إذا كانت د { س } = 5 س$ فإن الدالة الأصلية للدالة د { س } هي :
ل { س } = س% + ث .
حيث ل { س } : الدالة الأصلية للدالة د { س } .
ويرمز لها بالرمز : ت د { س }ء س
وتقرأ : تكامل الدالة د { س } بالنسبة للمتغير س .
وتكتب على الصورة :
ت د { س }ء س = ل { س } + ث
حيث ل { س } : الدالة الأصلية للدالة د { س } ، ث : ثابت التكامل .
وهذا يسمى التكامل غير المحدد .
الدرس الأول : الدوال الأصلية
أهم قاعدتين في التكامل :
س = ا س + ث
ملاحظة
1~يمكن توزيع التكامل على الجمع والطرح
ذ~لا يمكن توزيع التكامل على الضرب والقسمة .
3~ن [ س:م: = { س}م؛نن .
مثال : احسب :
1~تس% ء س = !؛6 س^ + ث
ذ~ ت س@ ء س = !؛3 س# +ث
3~ ت 5 ء س = 5 س + ث
4~ ت س$ + 2 = !؛5 س% + 2 س + ث
5~ ت س# + س@ + س + 7 = !؛4 س$ + !؛3 س# + !؛2 س@ + 7 س + ث .
الدرس الثاني التكامل غير المحدد
سوف يتم دراسة التكامل بطريقة مرتبة نستطيع بواسطتها توحيد التفكير في المسألة حيث سيتم تقسيمها وتصنيفها إلى عدة أقسام وهي كالتالي :
أولاً : تكامل حاصل ضرب دالتين أو أكثر وتكاملها كالتالي :
1لأ نضرب الدوال في بعضها و نكامل :
مثال ( 1 ) : احسب : ت { س + 2 } { 2 س – 3 } ء س
الحل : ت { س + 2 } { 2 س – 3 } ء س = ت { 2 س@ + س – 6 } ء س
= @؛3 س# + !؛2 س@ - 6 س + ث
الدرس الثاني التكامل غير المحدد
يكون التكامل على صورة دالة أس ن في مشتقتها :
ودائماً نفكر في قاعدة دالة في مشتقتها إذا كان التكامل حاصل ضرب دالتين أحدهما داخل القوس أس ن أو تحت الجذر والأخرى مشتقتها .
مثال ( 1 ) : أوجد التكامل التالي وأوجد أكبر فترة يكون التكامل فيها الإجابة صحيحة :
ت { س@ + س + 2 }@ { 2 س + 1 } ء س
الحل :
ت { س@ + س + 2 }@ { 2 س + 1 } ء س = !؛3 { س@ + س + 2 }# + ث
ف = ح .
الدرس الثاني التكامل غير المحدد
3لأ طريقة التعويض : وهي للمسائل التي ليست على الصورتين السابقتين :
ونفكر في طريقة التعويض إذا كان التكامل حاصل ضرب دالتين ولا نستطيع أن نضرب الدالتين في بعض وليست على صورة دالة في مشتقتها فنلجأ إلى طريقة التعويض .
هو استبدال الدالة المعطاة بدالة جديدة في المتغير ص واستبدال ء ص بـ ء س .
ملاحظة : دائماً نفرض ص تساوي القيمة التي تحت الجذر أو داخل القوس أس ن .
مثال: أوجد التكامل التالي :
ت س@ [س /- /2 / ء س
الحل : واضح من شكل الدالة أننا لانستطيع أن نضرب الدالتين في بعض كذلك ليست على صورة دالة في مشتقتها ، فمثل هذه المسائل نستخدم طريقة التعويض .
نفرض : ص = س – 2 ئ س = ص + 2 ئ ء س = ء ص
الآن نعوض بهذه القيم :
ت { ص + 2 }@ × ص !؛2 ء ص = ت { ص@ + 4 ص + 4 } ص !؛2 ء ص
= ت { ص%؛2 + 4 ص#؛2 + 4 ص !؛2 } ء ص
= @؛7 ص&؛2 + *؛5 ص%؛2 + *؛3 ص#؛2 + ث
= @؛7 { س – 2 }&؛2 + *؛5 { س – 2 }%؛2 + *؛3 { س – 2 }#؛2 + ث
الدرس الثاني التكامل غير المحدد
مثال : أوجد التكامل التالي :
ت { س - 2 } #[س /+ /3 / ء س
الحل :
نفرض : ص = س + 3 ئ س = ص - 3 ئ ء س = ء ص
ت { ص – 5 } ص!؛3 ء ص = ت { ص $؛3 – 5 ص!؛3 } ء ص
= #؛7 ص &؛3 - %؛4؛!؛ ص $؛3 + ث
= #؛7 { س + 3 } &؛3 - %؛4!؛ { س + 3 } $؛3 + ث
مثال : أوجد التكامل التالي :
ت س { س + 1 }(!ء س
الحل : واضح من المسألة أنها ليست دالة في مشتقتها فنطبق طريقة التعويض .
نفرض : ص = س + 1 ئ س = ص - 1 ئ ء س = ء ص
ت { ص – 1 } ص(! ء ص = ت ص!! – ص(! ء ص
= !؛2؛ ؛1؛؛؛ ص@! - ؛!1؛ 1؛ ص!! + ث
= !؛2؛ ؛1؛؛؛ { س + 1 }@! - ؛!1؛ 1؛؛؛؛؛ { س + 1 }!! + ث
الدرس الثاني التكامل غير المحدد
ثانياً : تكامل دالة من الدرجة الأولى مرفوعة للقوة ن :
مثال : أوجد التكاملات التالية :
1~ ت { 2س + 1 }$ء س = !؛8 { 2س + 1 }% + ث
2~ ت { 3 س – 8 }_%ء س = - ؛!2؛؛؛؛؛؛؛1؛ { 3 س – 8 }_$ + ث
3~ ت { 3 – س }_*ء س = !؛7 { 3 – س }_& + ث
4~ ت [{ 3/س/ -/ 2 /}/ء س = ت { 3 س – 2 }!؛2 ء س = )؛2 { 3 س – 2 } + ث
5~ ت 15 { 4 – 2 س }$ ء س = - #؛2 { 4 – 2 س }% + ث
6~ت{ 8 - !؛4 س }& ء س = - 2 { 8 - !؛4 س }* + ث
مثال : أوجد التكامل التالي : ت س@!{ %؛ سس - %؛ ذسس }^ءس
الحل : ت س@!{ %؛ سس - %؛ ذسس }^ء س = ت أ س@ { %؛ سس - %؛ ذسس } ٍ ^ءس
= ت { 5س - 5 }^ ء س = !؛7 { 5س - 5 }& + ث
مثال :أوجد التكامل التالي : ت س) { 7 - @؛ سس })ء س
الحل :ت س) { 7 - @؛ سس })ء س = ت أ س { 7 - @؛ سس } ٍ ) ء س
= ت { 7 س- ۲}) ء س = ؛!0؛ 1؛؛ { 7 س- ۲}(! + ث