مقال في الرياضيات والمطلقية.مبادى الرياضيات، هل المبادئ الرياضية مبادئ مطلقة أم أنها مجرد فرضيات يفترضها العقل ؟
هل المبادئ الرياضية مبادئ مطلقة أم أنها مجرد فرضيات يفترضها العقل ؟
الإشكالية3: في فلسفة العلوم .
المشكلة 2:في الرياضيات والمطلقية.
* في مبادئ الرياضيات.
جميع الشعب
المقدمة حول مبادئ الرياضيات.:
من المعلوم أن الرياضيات هي علم يهتم بدراسة علم الكم المجرد وهو نوعان كم منفصل مجاله الجبر وحساب، وكم متصل مجاله الهندسة، وتوصف الرياضيات بأنها صناعة دقيقة المنهج ، صحيحة ويقينية في منطلقاتها ونتائجها تعبر عن مفاهيم عقلية مجردة. ولقد اختلف المفكرون والفلاسفة حول مبادئ الرياضيات فهناك من يرى أن مبادئها مطلقة مطلقة ، وهناك من يرى أنها مجرد فرضيات وبالتالي الرياضيات حقيقة نسبية. ومن هذا العناد الفلسفي نتساءل :
هل المبادئ الرياضية مبادئ مطلقة أم أنها مجرد فرضيات يفترضها العقل ؟ وبمعنى آخر هل المعرفة الرياضية مطلقة أم نسبية ؟
المعرفة الرياضية معرفة مطلقة (الهندسة الاقليدية الكلاسيكية):
يرى مجموعة من الفلاسفة والعلماء الرياضيين وخاصة إقليدس أن الحقيقة الرياضية حقيقة مطلقة لكونها تعتمد على مبادئ تتصف بالضرورة والمطلقية.
وقد اعتمدت هذه الرياضيات على جملة من المبادئ والمنطلقات وهي قضيا أولية يستخدمها الرياضي في حل كل مسائله وتتمثل هذه المبادئ في ما يلي :
أ- البديهيات :هي قضايا عامة ،واضحة بذاتها ، صادقة لا تحتاج إلى برهان ، لأنها مرتبطة بمبادئ العقل الأساسية مثل : الكل اكبر من الجزء ، الشيئان المساويان لشيء ثالث متساويان.
ب- المسلمات أو المصادرات أو المواضعات: هي قضايا خاصة ، غير واضحة بذاتها ، يضعها العالم الرياضي ، ويطلب التسليم بصحتها دون برهان ، ويجب عليه إن يلتزم بها طيلة عملية الاستدلال ،مثال ذلك :مسلمة إقليدس من نقطة خارج المستقيم لا يمر الا مستقيم موازي له وعلى أساس هذه المسلمة برهن إقليدس عدة قضايا في بنائه الهندسي ، منها القضية التالية : مجموع زوايا المثلث 180° انظر للشكل.
ج- التعريفات: وهي ضبط وتحديد لماهية المعاني الرياضية التي سيستخدمها العالم ليكون لها نفس المفهوم لدى جميع الأذهان، أو هي أداة التي نفهم بها المعاني وخصائصها،
النقطة : ( هي ما ليس له بعد).
المثلث :(هو شكل هندسي يتألف من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا).
و المنهج المعتمد للبرهنة هو المنهج الاستدلالي الاستنتاجي ومفاده هو الانطلاق من مقدمات اساسية ( بديهيات ، مسلمات ، تعريفات ) وصول الى نتائج لازمة عن المقدمات السابقة.
ويِؤكد أصحاب هذا الموقف أن المعرفة الرياضية هي وحدها المعبرة عن اليقين و المطلق، لكون نتائجها تتصف بالدقة والوضوح وهي معصومة عن الخطأ ،وبالتالي تكون ثابتة في كل زمان ومكان لانها مبنية على مبادئ لا تقبل الشك او الظن، فمثلا :مجموع زوايا المثلث هي (°180) وهي نتيجة صحيحة ويقينية وفي هذا يقول توماس الأكويني : " إن الله ليس بوسعه أن يجعل زوايا المثلث اقل أو أكثر من قائمتين " وهذا إن دل على شيء وإنما يدل على أن الهندسة الإقليدية هي الهندسة الوحيدة التي تعبر عن اليقين المطلق في البرهان الرياضي، وفي نفس السياق اعتقد كانط أن الرياضيات حقائق مطلقة ، وأنها وحدها تنفرد في امتلاك التعريفات التي لا تخطئ ،فالمربع مثلا: كمفهوم ذهني مجرد ، يتجلى في أذهاننا واضحا وبسيطا ، ليس فيه أي غموض ،وفي نفس الوقت حقيقة ثابتة ومطلقة ، وهذا ما جعل "ديكارت" يضع الرياضيات قمة في الوضوح والبداهة.
إذن الرياضيات الكلاسيكية تنطلق من مبادئ صادقة صدق عقلي وواقعي لهذا تكون النتائج ضرورية تتسم باليقين والصدق المطلق، وهذا ما أدى إلى استمرارها منذ إقليدس إلى القرن 19 باعتبارها حقائق لا يمكن تغييرها.
النقــــــــد:
لكن إذا عدنا إلى الهندسة الكلاسيكية التي كان ينظر إليها كحقيقة رياضية مطلقة نجدها الآن أصبحت مجرد نسق من بين الأنساق الرياضية المتعددة التي ظهرت إلى الوجود بعد تحطيم البديهية فما كان ثابتا ومطلقا أصبح متغيرا ونسبيا.
المعرفة الرياضية معرفة نسبية ( الهندسة ألا إقليدية):
يرى مجموعة من المفكرين والعلماء الرياضيين ان مبادئ البرهان الرياضي ليست مطلقة بل هي مجرد مسلمات يفترضها العقل وعليه تصبح الحقيقة الرياضية حقيقة نسبية.
لأن معيار اليقين المطلق لم يعد ينطبق على الرياضيات الكلاسيكية لذا ظهرت في القرن 19 أفكار رياضية هندسية جديدة تختلف كل الاختلاف عن هندسة إقليدس سميت بالنسق الأكسيوماتيكي أو بالهندسات ألاإقليدية التي تجلت بوضوح في أعمال العالمين الرياضيين ريمان الألماني ولوباتشيفسكي الروسي هذا الأخير الذي شكك في مسلمات إقليدس التي بنيت كلها على أساس واحد وهو المكان المستوي ، وتصور بذلك مكان أآخر يختلف عنه وهو المكان المقعر الذي أعلن من خلاله أنه بإمكاننا أن نرسم من نقطة خارج مستقيم عدد لا نهاية له من المتوازيات ويصبح مجموع زوايا المثلث فيه أقل من 180° أنظر للشكل
أما ريمان فتصور المكان كرويا وأقام على هذا الأساس هندسية جديدة أعلن فيها لا يمكننا أن نرسم من نقطة خارج المستقيم إلا مواز واحد. وأن مجموع المثلث أكبر من 180° أنظر للشكل
وعليه فمبادئ الرياضيات نسبية و ليست مطلقة و يقول بولقان أن " كثرة الأنظمة في الهندسة لا دليل على ان الرياضيات ليست فيها حقائق مطلقة ".
مثل : لو سألت زميلك سؤال كم مجموع زوايا المثلث ؟ فلا يكون لسؤالك هذا أي معنى لأنه يتطلب أكثر من جواب فحسب هندسة إقليدس مجموع زوايا المثلث هو دائما 180° ، أما حسب هندسة ريمان مجموع زوايا المثلث يكون دائما أكبر من 180° وهكذا.
إضافة إلى ذلك يرى بوان كاري أن المنهج الملائم للبرهان الرياضي هو المنهج الفرضي الاستنتاجي الأكسيوماتيكي ، حيث أكد على أن البديهيات والمسلمات مجرد مواضعات لأن البرهان الرياضي ليس ضروري لكون مبادئه ليست مطلقة فهي مجرد فرضيات وعليه فالشرط الوحيد في الرياضيات يصبح الملائمة والاتساق الداخلي ومنه هنا لا يعد معيار الرياضيات الضرورة و المطلقية بل الاتساق الداخلي وعدم التناقض لان كل هندسة صحيحة في الإطار الخاص بها ، حيث قيل " إن الرياضيات ماهي في النهاية إلا اتساق النتائج مع منطلقات يفترضها العقل ".
كما أن الحقيقة الرياضية متصفة باليقين والصدق عندما تنزل التطبيقات التجريبية تفقد دقتها وتقع في التقريبات لان التعامل معها واقعيا يجعلها مجرد احتمالات تقريبية ممكنة مثال =3.14 أي 22/7 ولكن التقسيم الفعلي ل 22/7 يساوي أكثر من 3.14 بدليل أن 7× 3.14 لا يساوي 22 بدقة.
النقـــــــــــد:
إن هذه المآخذ عن الرياضيات لا يجب أن تدفعنا إلى الشك فيها لأن الرياضيات بموضوعها ومنهجها ونتائجها ، تبقى النموذج الأرقى الذي بلغته العلوم دقة ويقينا ، وان كل العلوم أصبحت تعتمد على اللغة الرياضية.
النتيجــــــــة:
خاتمة
إن تعدد الأنساق في الهندسة زاد من خصوبة الرياضيات.