ملخص شرح درس الدوال والمتباينات ، رياضيات ثالث ثانوي ف 1، خصائص الاعداد الحقيقية وحل أمثلة على الدوال والمتباينات
شرح مبسط للطالب درس الدوال والمتباينات ، رياضيات ثالث ثانوي ف 1،
شرح درس الدوال والمتباينات للصف ثاني ثانوي الفصل الدراسي الأول بدون تحميل
خصائص الاعداد الحقيقية
العلاقات والدوال, ودوال خاصة,
تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة بيانياً,
حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً, البرمجة الخطية
خصائص الاعداد الحقيقية
تتضمن الأعداد الحقيقية مجموعات مختلفة من الأعداد.
الأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على الصورة
a
b
حيث a َ و b عددان صحيحان، والعدد b لا يساوي صفر. وتكون الصورة العشرية للعدد النسبي إما عددً عشرياً منتهياً أو دورياً.
الصورة العشرية للعدد غير النسبي ليست منتهية و ليست دورية. لذا فإن الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة هي أعداد غير نسبية.
مجموعة الأعداد الصحيحة هي : {… , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , …}، و مجموعة الأعداد الكلية هي: {… , 4 , 3 , 2 , 1 , 0}.
مجموعة الأعداد الطبيعية هي: {… , 5 , 4 , 3 , 2 , 1}، وكل منها مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد النسبية, وذلك لأن كل عدد صحيح n يمكن كتابته على الصورة
n
1
وخصائص الاعداد الحقيقية هي: (التبديلية - التجميعية - العنصر المحايد - النظير - الانغلاق - التوزيع).
مثال: ما الخاصية الموضحة في كلٍّ مما يأتي؟
(6 . 8) . 5 = 6 . (8 .5) الخاصة التجميعية
7(9-5)=7.9 -7.5 التوزيع
84 + 16 = 16 + 84 الخاصة التبديلية.
تلخيص - العلاقات والدوال
الدالة المتباينة: كل عنصر في المجال يرتبط بعنصر واحد فقط في المدى, ولا يرتبط اكثر من عنصر في المجال بالعنصر نفسه في المدى.
العلاقة التي يكون فيها المجال مجموعة من النقاط المنفردة، تسمى علاقة منفصلة.
وإذا احتوى مجال العلاقة عدداً لا نهائياً من العناصر وأمكن تمثيلها بيانياً بمستقيم أو بمنحنى متصل، فإنها تكون علاقة متصلة.
يمكن استعمال اختبار الخط الرأسي مع كل من العلاقات المتصلة والمنفصلة لمعرفة إذا كانت العلاقة دالة أم لا.
اختبار الخط الرأسي:
-اذا لم يقطع خط رأسي التمثيل البياني للعلاقة بأكثر من نقطة, فالعلاقة دالة.
-اذا قطع خط رأسي التمثيل البياني للعلاقة في نقطتين أو أكثر فالعلاقة ليست دالة.
إذا كانت المعادلة تمثل دالة، فإن المتغير من المجال (غالباً ما يكون x)، يسمى المتغير المستقل. والمتغير الثاني (غالباً ما يكون y)، يسمى المتغير التابع لأن قيمه تعتمد على قيم المتغير x.
المعادلات التي تمثل دوالاً تكتب عادة باستعمال رمز الدالة. فالمعادلة y = 5x - 1 يمكن كتابتها على الصورة f(x) = 5x - 1
مثال: مثِّل y=2x-4 بيانيا، ثم حدد مجالها، ومداها، وحدد إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإن كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدد إذا كانت منفصلة أم متصلة .
كون جدولاً لبعض القيم لتستطيع تمثيل المعادلة بيانياً.
اي عدد حقيقي يمكن ان يكون الاحداثي x لنقطة على المستقيم, كما ان اي عدد حقيقي يمكن ان يكون الاحداثي y لنقطة ما على المستقيم, لذا فإن كلاً من مجال هذه العلاقة ومداها هو مجموعة الاعداد الحقيقية.
التمثيل البياني للعلاقة يحقق اختبار الخط الرأسي, لذا فإن المعادلة تمثل دالة. وكل قيمة لـ x ترتبط بقيمة واحدة فقط لـ y, وكل قيمة لـy مرتبطة بقيمة واحدة فقط لـx, لذا فالدالة متباينة.
وبما ان التمثيل البياني عبارة عن مستقيم متصل دون انقطاع, فالدالة متصلة.
مثال: أوجد قيمة (f(-8 للدالة f(x)=5x3+1.
f(8)=5.(-8)3+1
f(8)=2559
شرح - الدوال خاصة
الدالة التي تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر تسمى دالة متعددة التعريف, وعند تمثيل الدالة المتعددة التعريف بيانياً توضع دائرة صغيرة مظللة عند الطرف لتشير إلى أن النقطة تنتمي إلى التمثيل البياني، وتوضع دائرة غير مظللة لتشير إلى أن النقطة لا تنتمي إلى التمثيل البياني.
تمثَّل الدوال المتعددة التعريف غالباً بعدة دوال خطية. وتسمى حينئذ الدالة المتعددة التعريف الخطية.
من الدوال المتعددة التعريف الخطية الشهيرة الدالة الدرجية التي تتكون من قطع مستقيمة أفقية، كما أن دالة أكبر عدد صحيح التي تكتب على الصورة f(x) = [x] ، هي مثال على الدالة الدرجية، حيث يعني الرمز [x] أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي x.
وهناك نوع آخر من الدوال متعددة التعريف يسمى دالة القيمة المطلقة وهي الدالة التي تحتوي على عبارة جبرية يستعمل فيها رمز القيمة المطلقة.
سنلاحظ ان مجال الدالة ومداها هي مجموعة الاعداد الحقيقية.
تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة بيانياً
تشبه المتباينة الخطية المعادلة الخطية، فالفرق بينهما فقط هو وضع رمز المتباينة بدلاً من رمز المساواة.
وحد المتبانية هو نفس علاقة المتباينة ولكن مع مساواة, لنستطيع رسم الدالة.
في حال كانت المتباينة ≤ أو ≥ فإن الحد سيكون متصلاً.
في حال كانت المتبانية < أو > فإن الحد سيكون متقطعاً.
المثال الاول: لاحظ ان المتباينة هي < لذلك الحد متقطع.
المثال الثاني: لاحظ ان المتباينة هي ≤ لذلك الحد متصل.
حل انظمة المتباينات الخطية بيانياً
حل نظام المتباينات الخطية يعني إيجاد أزواج مرتبة تحقق جميع المتباينات في النظام, وذلك بخطوتين:
1-مثل كل متباينة في النظام بيانياً, وظلل منطقة الحل.
2-حدد المنطقة المظللة المشتركة بين مناطق حل متباينات النظام والتي تمثل منطقة حل النظام.
المثال الاول: بعد ان نقوم بالتظليل, سيكون الحل المنطقة المُظللة المشتركة بين الازرق والاحمر.
المثال الثاني: بعد ان نقوم بالتظليل, سيكون الحل المنطقة المُظللة المشتركة بين الازرق والاحمر.
البرمجة الخطية والحل الامثل
البرمجة الخطية: هي طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ما تحت قيود معينة كل منها عبارة عن متباينة خطية، وذلك بعد تمثيل نظام المتباينات بيانياً، وتوجد القيمة العظمى أو الصغرى للدالة ذات الصلة دائماً عند أحد رؤوس منطقة الحل.
استعمال البرمجة الخطية لإيجاد الحل الأمثل, وذلك بالخطوات التالية:
1-حدد المتغيرات.
2-اكتب نظام متباينات خطية يمثل المسألة.
3-مثل نظام المتباينات بيانياً.
4-جد احداثيات رؤوس منطقة الحل.
5-اكتب الدالة الخطية التي تريد ايجاد قيمتها العظمى او الصغرى.
6-عوض احداثيات الرؤوس في الدالة.
7-اختر القيمة العظمى او الصغرى وفقاً لما هو مطلوب في المسألة.
بعد التمثيل البياني سنجد رؤوس الحل ونقوم بتعويضها في الدالة (f(x,y
(2,5) بالتعويض بالدالة تكون f(x,y)=47
(6,3) بالتعويض بالدلة تكون f(x,y)=57
(2,0) بالتعويض بالدالة تكون f(x,y)=12
(6,0) بالتعويض بالدالة تكون f(x,y)=36
ومنه القيمة العظمى للدالة تساوي 57 وتكون عند النقطة (6,3), والقيمة الصغرى للدالة تساوي 12 وتكون عند النقطة (2,0)
