تلخيص شرح درس التبرير والبرهان للصف الاول الثانوي فصل اول
شرح وتحضير وتهيئة درس التبرير والبرهان للصف الاول الثانوي الفصل الدراسي الاول, سنشرح في هذا الفصل التبرير الاستقرائي والتخمين الرياضي, والمنطق, والعبارات الشرطية, والتبرير الاستنتاجي, والمسلمات والبراهين الحرة, والبرهان الجبري, وإثبات علاقات بين القطع المستقيمة وإثبات علاقات الزوايا, بالاضافة الى حل العديد من التمارين والامثلة والمسائل لجعل هذا الدرس سهل وبسيط لجميع الطلاب.
التبرير الاستقرائي والتخمين الرياضي
التخمين هو إصدار ادعاء عام (بهدف تعليمي) يرتكز على معطيات ومعلومات معروفة. وتسمى العملية التي يتم من خلالها اختبار عدة مواقف محددة للوصول إلى هذا الادعاء العام التبريرَ الاستقرائي. وتستعمل عملية التفكير هذه عددًا من الأمثلة الخاصة للوصول إلى تعميم أو تنبؤ.
يُبنى الادعاء أو التخمين عادة على ملاحظات أو أمثلة ربما تكون في كثير من الأحيان صحيحة، ولكن في بعض الحالات لا تكون صحيحة. ولنفي الادعاء أو التخمين يكفي إعطاء مثال يكون الادعاء فيه غيرَ صحيح. والمثال الذي يكون فيه الادعاء غير صحيح يسمى مثالاً مضادًّا.
الاســـم: التخمين.jpg
المشاهدات: 3697
الحجـــم: 41.9 كيلوبايت
المثال الاول: من ملاحظة الاشكال (دائرة مثلث مربع, دائرتين مثلثين مربعين, ثلاث دوائر ثلاث مثلثات ثلاث مربعات) ان الحد التالي سيكون (اربع دوائر, أربع مثلثات, اربع مربعات).
المثال الثاني: نلاحظ ان كل حد يزيد بمقدار 3 عن الحد الذي يليه, لذلك الحد التالي هو 7.
المثال الثالث: بما ان PQ=RS و RS=TU فإن PQ=TU.
المثال الرابع: المستقيمان لا يمثلان مثلث, ويتقاطعان في نقطة واحدة هي P.
المثال الخامس: سنلاحظ ان عدد السكان في الرياض ومكة اكثر من 20%.
المثال السادس: المدينة المنورة عدد سكانها اقل من 2 مليون نسمة.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
المنطق
العبارة جملة خبرية إما أن تكون صحيحة فقط أو خاطئة فقط ولا تحتمل أي وضع ثالث. وتختلف العبارة عن التخمين أو الادعاء لأن التخمين يحتمل أن يكون صحيحًا في بعض الحالات وخاطئًا في حالات أخرى.
تُسمّى صحة أو خطأ العبارة المنطقية قيمة الصواب لتلك العبارة. يرمز للعبارة المنطقية برمز مثل p أو q . فمثلًا يمكن أن يرمز للعبارة “أبها مدينة سعودية” بالرمز p. (عبارة صحيحة).
ونفي العبارة المنطقية يفيد معنى مضادًّا لمعنى العبارة. وقيمة الصواب لها عكس قيمة الصواب للعبارة. فمثلاً نفي العبارة p أعلاه هو ليس p حيث:
ليس p: أبها ليست مدينة سعودية (عبارة خاطئة).
إذاكانت العبارة المنطقية تمثل بالرمز p فإن "ليس p" هو نفي العبارة, نرمز لها بالرمز p~.
ويمكن ربط عبارتين أو أكثر لتكوين عبارة مركبة, ونقول p و q.
عبارة الوصل عبارة مركبة مكونة من ربط عبارتين أو أكثر بأداة الربط "و", ونرمز لها بالرمز p ∧ q.
عبارة الفصل عبارة مركبة مكونة من ربط عبارتين أو أكثر بأداة الربط "أو", ونرمز لها بالرمز p ∨ q.
من الطرائق المناسبة لتنظيم قيم الصواب للعبارات المنطقية استعمال ما يسمى بجدول الصواب, حيث:
إذا كانت p عبارة صحيحة (T) فإن p~ تكون عبارة خاطئة (F)
وإذا كانت p عبارة خاطئة (F) فإن p~ تكون عبارة صائبة (T)
تكون عبارة الوصل صحيحة عندما تكون مركبتاها صحيحتين.
تكون عبارة الفصل خاطئة عندما تكون مركبتاها خاطئتين.
مثال: استعمل العبارات التالية لكتابة عبارة مركبة لكل عبارة وصل أو فصل مما يلي، ثم أوجد قيمة الصواب لها:
P: إن 9+5=14
q: شهر رمضان 31 يومًا.
r: للمربع أربعة أضلاع.
1-) P وَ q: بما ان p صحيحة و q خاطئة فإن العبارة خاطئة.
2-) p ∧ r: بما ان p صحيحة و r صحيحة فإن العبارة صحيحة.
3-) q ∧ r: بما ان r صحيحة و q خاطئة فإن العبارة خاطئة.
4-) p ∨ ∼p: إن p صحيحة وهذا كافي لنقول ان العبارة صحيحة.
5-) q ⋁ r: إن q خاطئة ولكن r صحيحة, لذلك العبارة صحيحة.
مثال: كون جدول صواب لكل من العبارات التالية:
p ⋁ q∼ و p ∧ ∼q∼
العبارات الشرطية
تكتب عبارة (إذا كان .... فإن ....) على الصورة ”إذا كانت p فإن q“. الجملة التي تتبع كلمة إذا تسمى الفرض، والجملة التي تتبع كلمة فإنَّ تسمى النتيجة, ونرمز لها بالرمز p → q
يرتبط بالعبارة الشرطية المعطاة عبارات شرطية أخرى تسمى العبارات الشرطية المرتبطة, حيث إذا بدلت الفرض بالنتيجة والنتيجة بالفرض فإنك تحصل على العبارة الشرطية.
العبارات الشرطية هي اربعة انواع:
1-الشرطية: فرض مُعطى ونتيجة.
2-العكس: تبديل الفرض والنتيجة.
3-المعكوس: نفي كل من الفرض والنتيجة في العبارة الشرطية.
4-المعاكس الايجابي: نفي كل من الفرض والنتيجة في عكس العبارة الشرطية.
والعبارات التي لها قيم الصواب نفسها يقال لها عبارات متكافئة منطقيًا.
مثال: حدد الفرض والنتيجة لكل عبارة من العبارتين التاليتين:
1-إذا أمطرت يوم الإثنين فإنني سأبقى في المنزل.
الفرض: اذا أمطرت يوم الاثنين.
النتيجة: سأبقي في المنزل.
2-إذا كان 7 = x - 3 فإن x = 10
الفرض: اذا كان 7 = x - 3
النتيجة: x = 10
مثال: اكتب العبارة التالية على صورة (إذا كان ... فإن ...):
مجموع قياسي الزاويتين المتكاملتين هو 180˚
اذا كان مجموع قياس زاويتين 180˚ فإنهما متكاملتين.
مثال: حدّد قيمة الصواب للعبارة التالية وفقًا للشروط المعطاة:
"إذا كانت سرعتك تتجاوز 100 كلم / ساعة فإنك ستحصل على مخالفة سرعة".
1-كانت سرعتك 110 كلم / ساعة وتلقيت مخالفة سرعة: صحيحة.
2-كانت سرعتك 90 كلم/ ساعة ولم تتسلم مخالفة سرعة: صحيحة.
3-كانت سرعتك 105 كلم/ساعة ولم تتسلم مخالفة سرعة: خاطئة.
مثال: اكتب العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي لكل عبارة شرطية، وحدد صحة أو خطأ كل عبارة مرتبطة. وفيحالة خطأ العبارة المرتبطة أعط مثالًا مضادًّا:
إذا رُويت المزروعات بالماء فإنها ستنمو
لنكتبها على شكل عبارة شرطية: اذا رويت المزروعات بالماء فإنها ستنمو.
العكس: اذا نمت المزروعات فإنك سترويها, وهي خاطئة لأن المزروعات لا تنمو إلا بالري.
المعكوس: اذا لم تقم بري المزروعات فلن تنمو, وهي صحيحة.
المعكوس الايجابي: اذا لم تنمو المزروعات فهذا يعني انك لم ترويها, وهذه صحيحة.
-
التبرير الاستنتاجي
قانون الفصل المنطقي: إذا كانت العبارة الشرطية p → q صحيحة والفرض p صحيحًا فإن q تكون صحيحة, أي:
p → q) ⋀ p→q)
قانون القياس المنطقي: إذا كانت العبارتان الشرطيتان p → q , q → r ، صحيحتين فإن العبارة الشرطية p → r تكون صحيحة.
مثال: بين ما إذا كانت النتيجة المعطاة صحيحة اعتمادًا على المعلومات المعطاة، وإن لم تكن فاكتب " غير صحيح" مبررًا إجابتك:
اذا كانت الزاويتان متقابلتين بالرأس فهما متطابقتان.
1-المعطيات: A∠ و B∠ متقابلتان بالرأس.
النتيجة: A ≅ ∠B∠
صحيحة
2-المعطيات: C ≅ ∠D∠
النتيجة: C∠ و D∠ زاويتان متقابلتان بالرأس
خاطئة, لأنه ليس اي زاويتين متطابقتين متقابلتين بالرأس, فقط تكون متبادلتين داخلياً مثلاً.
مثال: استعمل قانون القياس المنطقي لبيان ما اذا كان من الممكن الحصول على نتيجة من العبارة:
نقطة المنتصف تقسم القطعة المستقيمة إلى قطعتين متطابقتين. إذا كانت القطعتان المستقيمتان متطابقتين فإن طوليهما متساويان
p:عنقطة المنتصف تقسم القطعة المستقيمة.
q: قطعتين متطابقتين.
r: طوليهما متساويان.
بما ان p → q و q → r فإن p → r صحيحة, وتكون نقطة المنتصف تقسم القطعة الى قطعتين طوليهما متساويان.
مثال: بيّن ما إذا كانت العبارة (3) نتيجة للعبارتين (1) و (2) من خلال قانون الفصل المنطقي أو قانون القياس المنطقي، وإن لم تكن فاكتب ليس صحيحًا:
(1) إذا وصلت منى إلى المدرسة قبل الساعة السابعة والنصف صباحا فإنها ستحصل على مساعدة في الرياضيات.
(2) إذا حصلت منى على مساعدة في الرياضيات فإنها ستنجح في الاختبار.
(3) إذا وصلت منى إلى المدرسة قبل الساعة السابعة والنصف صباحا فإنها ستنجح في اختبار الرياضيات.
العبارة 3 صحيحة, واستخدمنا قانون القياس المنطقي.
المسلمات والبراهين الحرة
المسلمة عبارة تُقبل على أنها صحيحة.
البرهان هو دليل منطقي، بحيث إن كل عبارة تكتبها تكون مبررة بعبارة سبق إثبات صحتها. ومن أنواعه البرهان الحر.
لبرهان اي نظرية يجب عليك تحديد (المعطيات والمطلوب) ثم كتابة البرهان.
مثال: هل العبارة التالية صحيحة دائماً, أو صحيحة احياناً أو ليست صحيحة أبداً؟
النقاط A,B,C تحدد ثلاث مستقيمات
صحيحة احياناً لأنها قد تحدد ثلاث مستقيمات كما في المثلث, ولكنها من الممكن ان تكون على استقامة واحدة.
مثال: اذا كانت P نقطة منتصف القطعتين ST و QR, و QR ≌ ST, اكتب برهاناً يثبت أن PQ = PT.
المعطيات: P نقطة منتصف القطعتين ST و QR, و QR ≌ ST
المطلوب: PQ = PT
البرهان: بما أن P نقطة منتصف فهي تقسم القطعة الاولى لقسمين متساويين هما PQ=PR
وبما ان P نقطة نتصف تقسم القطعة الثانية لقسمين متساويين هما PT=PS
وبما أن PQ = PT فإن PT=PS=PQ=PR
ومنه PQ = PT
البرهان الجبري
تستعمل خصائص علاقة المساواة لتبرير خطوات حل المعادلات. ومجموعة الخطوات الجبريّة التي تستعمل لحل المسائل تشكل ما يسمى المناقشة الاستنتاجية.
البرهان ذا العمودين يحتوي العبارات مرتبة في عمود والتبريرات مرتبة في عمود مواز.
مثال: اكتب برهان 7=
3
X
+
5
2
مع تبرير الخطوات:
المعطى 7=
3
X
+
5
2
الضرب 3X+5=14
الطرح 3X=9
القسمة X=3
--------------------------------------------
إثبات علاقات بين القطع المستقيمة
إذا وقعت النقاط A, B, C على استقامة واحدة، وكانت النقطة B بين A و C، فإن .AB + BC = AC وكذلك إذا كانت ،AB + BC = AC فإن النقطة B تقع بين A وC.
البرهان: من المعطيات لدينا
AP=CP و BP=DP
ومن مسلمة النقطة الثلاثة الواقعة على استقامة واحدة فإن
AB=AP+PB
بالتعويض
AB=CP+DP
C و P و D تقع على استقامة واحدة ومنه
AB=CD
ومنه AB ≌ CD
إثبات علاقات الزوايا
نظرية تكامل الزوايا: إذا كانت زوايتان متجاورتين على مستقيم فإنهما متكاملتان.
نظرية تتام الزوايا: إذا شكّل الضلعان غير المشتركين لزاويتين متجاورتين زاوية قائمة فإن الزاويتين متتامتان.
(خصائص الانعكاس والتماثل والتعدي هي خصائص بديهية لذلك لا نتطرق لهم في هذا الدرس)
الزاويتان المكملتان للزاوية نفسها أو لزاويتين متطابقتين تكونان متطابقتين.
الزاويتان المتممتان للزاوية نفسها أو لزاويتين متطابقتين تكونان متطابقتين.
المثال الاول: بما ان الزاويتين متتامتين فإن قياس الزاوية 2 هي 90-64=26
المثال الثاني: بما ان المستقيمين متعامدين فإن مجموع الزاوية 3 و 4 هو 90 (قائم) اي انهما متتامتين, ومنه تكون قياس الزاوية 4 هي 90-38=52
المثال الثالث: بما ان مجموع الزوايا الاربعة 180 فإن:
5∠ + 6∠ + 7∠ + 8∠ = 180
بما ان الزاويتين 7 و 8 متتامتين فإن مجموعهما 90
5∠ + 6∠ + 90 = 180
5∠ + 6∠=90
بالتعويض
5∠ + 29=90
ومنه 5∠=61
وبما ان 5∠=8∠ فإن 8∠=61