شرح درس الانحراف المعياري وكيف يتم حساب الانحراف المعياري
كيفية حساب الانحراف المعياري
الانحراف المعياري الانحراف المعياري ويطلق عليه بالإنجليزيّة ( Standard deviation ) ، ويصنّف بأنّه أحد أنواع المقاييس المستخدمة في الإحصاء ، ويسمّى أيضاً باسم مقياس التشتت ، حيث تمّ تعريفه من قِبل علماء الإحصاء بأنّه المقياس المستخدم لقياس الاختلافات بين مجموعة من البيانات ومقدار التشتّت بينها، ويعد مقياس التشتت مكمّلاً ومتمماً لمقياس النزعة المركزيّة .
وهو المقياس المستخدم في تقديم القيمة العدديّة المركزيّة التي تتجمع حولها باقي القيم والمشاهدات الأخرى ، فقيمة النزعة المركزيّة قيمة مهمّة جداً لإعطاء تصوّر كافٍ عن البيانات المقدّمة ؛ لذلك يستخدم الخبراء والاحصائيّون مقياس التشتت بالإضافة إلى قيمة النزعة المركزيّة ، لأن مقياس النزعة المركزيّة يقدّم قيمة وسطيّة فقط ، أما مقياس التشتت فيعطي درجة التشتت والتباعد بين البيانات وحول القيمة الوسطيّة . الانحراف المعياري يطلق عليه بالإنجليزيّة ( Standard deviation ) ، ويصنّف بأنّه أحد أنواع المقاييس المستخدمة في الإحصاء ، ويسمّى أيضاً باسم مقياس التشتت ، حيث تمّ تعريفه من قِبل علماء الإحصاء بأنّه المقياس المستخدم لقياس الاختلافات بين مجموعة من البيانات ومقدار التشتّت بينها، ويعد مقياس التشتت مكمّلاً ومتمماً لمقياس النزعة المركزيّة ؛ وهو المقياس المستخدم في تقديم القيمة العدديّة المركزيّة التي تتجمع حولها باقي القيم والمشاهدات الأخرى ، فقيمة النزعة المركزيّة قيمة مهمّة جداً لإعطاء تصوّر كافٍ عن البيانات المقدّمة ؛ لذلك يستخدم الخبراء والاحصائيّون مقياس التشتت بالإضافة إلى قيمة النزعة المركزيّة ، لأن مقياس النزعة المركزيّة يقدّم قيمة وسطيّة فقط ، أما مقياس التشتت فيعطي درجة التشتت والتباعد بين البيانات وحول القيمة الوسطيّة .
هُناك مقاييس مشهورة لقياس التشتت في علم الأحصاء وهي أربعة مقاييس : المدى التباين الانحراف المعياري معامل الاختلاف يعبّر عن الانحراف المعياري بعلم الإحصاء والرياضيّات بالتعبيرات التاليّة: (SD) أو (S)، كما يرمز له برمز خاص وشائع وهو رمز: (σ) ويعدّ هذا الرّمزأحد الرموزاليونانيّة أو الإغريقيّة ويُلفظ بالعربيّة “سيجما” وبالإنجليزية كذلك .
قانون الانحراف المعياري
يُمكن حساب الانحراف المعياري من خلال حساب الجذر التربيعي من التباين المحسوب بالسابق للبيانات المتشتتة عن الوسط الحسابي ، وما يلي خطوات حساب الانحراف المعياري :
إيجاد قيمة الوسط الحسابي للبيانات من خلال تقسيم مجموع البيانات على عددها .
إيجاد قيمة التباين للبيانات من خلال تقسيم مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي على (n-1)
إيجاد قيمة الانحراف المعياري من خلال أخذ الجذر التربيعي من التباين .
فإذا كانت هناك البيانات التالية على سبيل المثال : (7، 8، 10، 15، 22، 6) ، فكيف يمكن حساب قيمة الانحراف المعياري للبيانات السابقة ؟
قيمة الوسط الحسابي لتلك البيانات هو : (7+8+10+15+22+6) / 6 = 11.33.
لإيجاد قيمة التباين ، فإنه يجب أولاً أن نجد قيمة انحراف كل قيمة من القيم عن وسطها الحسابي ، وذلك بالطريقة التالية : (7 – 11.33) = 4.33 – ، (8 – 11.33) = 3.33 – ، (10 – 11.33) = 1.33- ،(15 – 11.33) = 3.67 ، (22 – 11.33) = 10.67 ، (6 – 11.33) = 5.33- .
بعد إيجاد الانحرافات ، يجب أن نُرَبِّع كل انحراف منها بالطريقة التاليّة : (4.33-)2 = 18.7489 ، (3.33-)2 = 11.0889 ، (1.33-)2 = 1.7689 ، (3.67)2 = 13.4689 ، (10.67)2 = 113.8489 ، (5.33-)2 = 28.4089 . تجمع كل الانحرافات المربّعة ، بحيث تُصبح قيمة النتيجة كالتالي : (187.3334) .
تُحسب التباين من خلال تقسيم المجموع على (n-1)، حيث إنّ (n) هو مجموع القيم ، فالتباين هو : (187.3334) / (5) = 37.46668.
ما هو الفرق بين الانحراف المعياري والوسط الحسابي
يعتبر الوسط الحسابي في أبسط أشكاله ، متوسط جميع نقاط البيانات في مجموعة معينة ، فعلى سبيل المثال، في مجال الاستثمار، قد ترغب في معرفة متوسط سعر الإغلاق خلال آخر 20 يوما ، ويمكن الحصول على ذلك عن طريق إضافة أسعار الإغلاق لكل جلسة وقسمتها على 20 ، ونظرا لأن الأسواق متقلبة في أحسن الأحوال ، فإن التجار والمحللين يستخدمون المتوسطات المتحركة التي تعدل يوميا لدمج أحدث البيانات .
وهذا يعني أن العملية الحسابية تأخذ دائما بعين الاعتبار تحركات الجلسات الأخيرة ، وتنتهي الجلسات الأقدم عندما تصبح أقل صلة ، ويتم حساب المتوسط المتحرك الأسي (EMA) عن طريق ترجيح كل نقطة بيانات، مما يعطي أهمية أكبر للبيانات الأحدث ويحسب الانحراف المعياري استنادا إلى الوسط الحسابي ، حيث تكون المسافة لكل نقطة بيانات من الوسط على التربيع ، ومجموع حسابها وحساب متوسطها للعثور على التباين ، أو وضعها بطريقة أخرى .
حيث يتم اشتقاق التباين من خلال أخذ الوسط الحسابي نقاط البيانات ، وطرح الوسط الحسابي من كل نقطة بيانات على حدة ، وتربيع كل من هذه النتائج ومن ثم أخذ وسيلة أخرى من هذه الساحات، كما يعتبر الانحراف المعياري ببساطة الجذر التربيعي للتباين