Question

عزم القصور الذاتى ويكيبيديا Moment Of Inertia

تحضير عزم القصور الذاتى Moment Of Inertia

عزم القصور الذاتى Moment Of Inertia

تعريف: عزم القصور الذاتى Moment Of Inertia "هى قابلية الأجسام الصلبة Rigid Body للدوارن حول محور يمر بمركز ثقلها Centre of Mass" ..

وقبل الحديث عن تفاصيل خاصة بعزم القصور الذاتى لأبد وأن نتحدث أولاً قليلاً عن الـ Rigid Body والفرق الأساسى ما بينه وما بين الجسيم Particle، فذلك يصنع فارقاً هائلاً أثناء التعامل بالقوانين الرياضية التى تحكم التعامل مع الأجسام أثناء الحركة الدينامكية Dynamic Motion ..

الـ Rigid Body هى أجسام صلبة لا تتغير أبعادها قط مع الحركة، ولهذه الأجسام مركز ثقل معروف يتم اللجوء إليه للتعبير عن كميات أخرى تحكم الجسم كالكمية التى سنتحدث عنها فى موضوعنا. فمثلاً لا يمكن أعتبار قطعة من الأسفنج أو العجين كـ Rigid Body والسبب أنها تتعرض لعملية تشويه Deformation أثناء الحركة ولا يمكنها الحفاظ على أبعاد جسمها طوال الوقت. فى حين أن أسطوانة Cylinder من الحديد لا تتغير أبعاد قطرها وأرتفاعها أثناء الدوران ..

الصيغ الرياضية للتعامل مع عزم القصور الذاتى: القانون (( البسيط )) الذى يحكم كيفية عزم القصور الذاتى هو I=MR^2 ،، حيث الـ I هو عزم القصور الذاتى وبعض المراجع تعتبره J، الـ M هى كتلة الجسم، أما الـ R فتمثل آخر نقاط الجسم عن مركز الثقل وغالباً ما تمثل نصف قطر الأشكال الدورانية وطول الأشكال المستقيمة ..

أما القانون الأعم والأشمل لحساب عزم القصور الذاتى والذى يُلجأ إليه لحساب الأشكال الغربية والغير منتظمة، فيتم حسابه بأستخدام التكامل العادى أو الثنائى (( للأشكال ذات البعدين )) أما الأشكال الثلاثية الأبعاد فيتم أستخدام التكامل الثلاثى معها (( وإن كان التكامل الثنائى يصلح لأنه يكون غاية فى الصعوبة فى بعض الأوقات )) ..

وصيغته هى : I= ∫(R^2)dM (( التكامل العادى )) I= ∫∫(R^2)dxdy (( التكامل الثنائى )) I= ∫∫∫(R^2)dzdxdy (( التكامل الثلاثى )) 

ويسعدنا أن نقدم لكم في موقعنا النورس العربي الكثير من المعلومات المتعلقة عن ما تبحثون عنه وهي كالاتي. 

- بعض الأشكال الهندسية الشائعة ويوضح الشكل المحور المار بمركز الثقل و إتجاه دورانه -

الأسباب التى تدفعنا للتعامل بعزم القصور الذاتى: هنالك نوعين من القوانين الدينامكية التى تحكم حركة الأجسام، وتختلف هذه القوانين فى حالة كان الشىء المعنى بالدراسة جسيم أو جسم كامل، ففى حالة الجسيم نظراً لكونه مجرد نقطة بلا أبعاد لا يتم الأهتمام بحركة دورانه Rotation لا تدخل القوانين أو الرموز التى تحكم الدوران كـ w السرعة الدورانية والـ α العجلة الدورانية ..

أما فى حالة الأجسام ذات الأبعاد فلا يمكن إهمال دوران الأجسام حول محورها قط، فمثلاً لا يمكن أن تعامل عجلة السيارة كأنها جسيم فحسب، بل يجب أن تعُامل كأسطوانة لها عزم قصور ذاتى (( قابلية للدوارن حول المحور )) ومن هنا كان لأبد من تعريف عزم القصور الذاتى و التعامل به فى قوانين الحركة الدينامكية. فى حالة الجسيم نتعامل بالسرعة v والعجلة الخطية a فحسب، أما مع الأجسام فنضيف العجلة α والسرعة w الدورانية ..

أما العزم Moment فيمكن فى هذه الحالة كتابته على صورة جديدة بخلاف الشكل المعتاد حيث يمثل حاصل ضرب العجلة الخطية فى كتلة الجسم T=Ma، والصورة الجديدة مشتقة من التفاضلات من علاقة أساسية S=Rθ، حيث الـ S هى الإزاحة والـ θ هى زواية دوران الجسم ..

وتأخذ الشكل النهائى T=Iα ..

نظرية المحاور المتوازية Parallel Axis Theorem: هى نظرية هامة جداً وتسمح لنا بمعرفة عزم القصور الذاتى عند أى محور بخلاف مركز ثقل الجسم ..

وصيغته هى I_{\mathrm{displaced}} = I_{\mathrm{center}} + M R^{2} \,\!

حيث يمثل Icentre هو العزم عند مركز الثقل، والـ Idis هو العزم الجديد الذى نريده عند محور محدد، والـ R هنا تمثل بعد المحور الجديد عن الأصلى ..

ومن هذه العلاقة يمكن معرفة عزم القصور الذاتى عند أى محور آخر نريده، ولكن لأبد عند أستخدام العلاقة أن يكون بها العزم عند مركز الثقل. فمثلاً لا يمكن أستخدام النظرية لمعرفة قيمة العزم عند محور آخر بمعلومية قيمته عند محور لا يمر بمركز الثقل، فالنظرية هنا تُثبت فشلها وعدم فعاليتها، بجب دوماً أن نستخدم معلومية عزم القصور الذاتى عند المحور المار بمركز الثقل

Answer 1

القصور الذاتي الصيغ الرياضية للتعامل مع عزم القصور الذاتى: القانون (( البسيط )) الذى يحكم كيفية عزم القصور الذاتى هو I=MR^2 ،، حيث الـ I هو عزم القصور الذاتى وبعض المراجع تعتبره J، الـ M هى كتلة الجسم، أما الـ R فتمثل آخر نقاط الجسم عن مركز الثقل وغالباً ما تمثل نصف قطر الأشكال الدورانية وطول الأشكال المستقيمة .

Answer 2

عزم القصور الذاتى Moment Of Inertia
تعريف: عزم القصور الذاتى Moment Of Inertia "هى قابلية الأجسام الصلبة Rigid Body للدوارن حول محور يمر بمركز ثقلها Centre of Mass" ..
وقبل الحديث عن تفاصيل خاصة بعزم القصور الذاتى لأبد وأن نتحدث أولاً قليلاً عن الـ Rigid Body والفرق الأساسى ما بينه وما بين الجسيم Particle، فذلك يصنع فارقاً هائلاً أثناء التعامل بالقوانين الرياضية التى تحكم التعامل مع الأجسام أثناء الحركة الدينامكية Dynamic Motion ..
الـ Rigid Body هى أجسام صلبة لا تتغير أبعادها قط مع الحركة، ولهذه الأجسام مركز ثقل معروف يتم اللجوء إليه للتعبير عن كميات أخرى تحكم الجسم كالكمية التى سنتحدث عنها فى موضوعنا. فمثلاً لا يمكن أعتبار قطعة من الأسفنج أو العجين كـ Rigid Body والسبب أنها تتعرض لعملية تشويه Deformation أثناء الحركة ولا يمكنها الحفاظ على أبعاد جسمها طوال الوقت. فى حين أن أسطوانة Cylinder من الحديد لا تتغير أبعاد قطرها وأرتفاعها أثناء الدوران ..
الصيغ الرياضية للتعامل مع عزم القصور الذاتى: القانون (( البسيط )) الذى يحكم كيفية عزم القصور الذاتى هو I=MR^2 ،، حيث الـ I هو عزم القصور الذاتى وبعض المراجع تعتبره J، الـ M هى كتلة الجسم، أما الـ R فتمثل آخر نقاط الجسم عن مركز الثقل وغالباً ما تمثل نصف قطر الأشكال الدورانية وطول الأشكال المستقيمة ..
أما القانون الأعم والأشمل لحساب عزم القصور الذاتى والذى يُلجأ إليه لحساب الأشكال الغربية والغير منتظمة، فيتم حسابه بأستخدام التكامل العادى أو الثنائى (( للأشكال ذات البعدين )) أما الأشكال الثلاثية الأبعاد فيتم أستخدام التكامل الثلاثى معها (( وإن كان التكامل الثنائى يصلح لأنه يكون غاية فى الصعوبة فى بعض الأوقات )) ..
وصيغته هى : I= ∫(R^2)dM (( التكامل العادى )) I= ∫∫(R^2)dxdy (( التكامل الثنائى )) I= ∫∫∫(R^2)dzdxdy (( التكامل الثلاثى )) ..
- بعض الأشكال الهندسية الشائعة ويوضح الشكل المحور المار بمركز الثقل و إتجاه دورانه -
الأسباب التى تدفعنا للتعامل بعزم القصور الذاتى: هنالك نوعين من القوانين الدينامكية التى تحكم حركة الأجسام، وتختلف هذه القوانين فى حالة كان الشىء المعنى بالدراسة جسيم أو جسم كامل، ففى حالة الجسيم نظراً لكونه مجرد نقطة بلا أبعاد لا يتم الأهتمام بحركة دورانه Rotation لا تدخل القوانين أو الرموز التى تحكم الدوران كـ w السرعة الدورانية والـ α العجلة الدورانية ..
أما فى حالة الأجسام ذات الأبعاد فلا يمكن إهمال دوران الأجسام حول محورها قط، فمثلاً لا يمكن أن تعامل عجلة السيارة كأنها جسيم فحسب، بل يجب أن تعُامل كأسطوانة لها عزم قصور ذاتى (( قابلية للدوارن حول المحور )) ومن هنا كان لأبد من تعريف عزم القصور الذاتى و التعامل به فى قوانين الحركة الدينامكية. فى حالة الجسيم نتعامل بالسرعة v والعجلة الخطية a فحسب، أما مع الأجسام فنضيف العجلة α والسرعة w الدورانية ..
أما العزم Moment فيمكن فى هذه الحالة كتابته على صورة جديدة بخلاف الشكل المعتاد حيث يمثل حاصل ضرب العجلة الخطية فى كتلة الجسم T=Ma، والصورة الجديدة مشتقة من التفاضلات من علاقة أساسية S=Rθ، حيث الـ S هى الإزاحة والـ θ هى زواية دوران الجسم ..
وتأخذ الشكل النهائى T=Iα ..
نظرية المحاور المتوازية Parallel Axis Theorem: هى نظرية هامة جداً وتسمح لنا بمعرفة عزم القصور الذاتى عند أى محور بخلاف مركز ثقل الجسم ..
وصيغته هى I_{\mathrm{displaced}} = I_{\mathrm{center}} + M R^{2} \,\!
حيث يمثل Icentre هو العزم عند مركز الثقل، والـ Idis هو العزم الجديد الذى نريده عند محور محدد، والـ R هنا تمثل بعد المحور الجديد عن الأصلى ..
ومن هذه العلاقة يمكن معرفة عزم القصور الذاتى عند أى محور آخر نريده، ولكن لأبد عند أستخدام العلاقة أن يكون بها العزم عند مركز الثقل. فمثلاً لا يمكن أستخدام النظرية لمعرفة قيمة العزم عند محور آخر بمعلومية قيمته عند محور لا يمر بمركز الثقل، فالنظرية هنا تُثبت فشلها وعدم فعاليتها، بجب دوماً أن نستخدم معلومية عزم القصور الذاتى عند المحور المار بمركز الثقل